[恒星物理学] 恒星の重力エネルギー

星の重力エネルギーは、星を構成しているガス全てを無限遠まで運ぶのに必要なエネルギーに負の符号をつけたものとして評価することができます(エネルギーが必要なだけ低いエネルギー状態にあると考えることができるので負とします)。質量を持つ半径の球を取り囲む微小質量の球殻を無限遠まで運ぶのに必要なエネルギーをとすると、中心からの距離がでの重力に逆らって運ぶので、

となります。これをについて積分することにより、星全体のガスを無限遠に運ぶのに必要なエネルギーが求められます。星の重力エネルギーですから、

…(1)

と表されます。この積分を実行するにとの関係、つまり星の内部構造を知る必要がありますが、

…(*)

と書いたとき、は1のオーダーの量です。(1)式は部分積分を使うとさらに変形できて

…(2)

となります。重力ポテンシャルは球対称の場合のところで出てきた(#)式を積分して

が得られます。積分定数のは、星の外となるように選ぶことで

のように表されます。この式から、であることを(2)式に使うと

という関係が得られます。

 

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