[恒星大気の物理学] Spherical gray atmosphere

Gray atmosphereの曲率を考慮したものです。

吸収係数と散乱係数が光の波長に依存しないgray atmosphereの仮定のもとでは

…(1)

…(2)

となります。(1)式は積分でき、

が得られます。大気の厚さが厚いときは、flux Fではなく、luminosityが一定となります。十分遠方から積分したoptical depthを

のように定義しましょう。

十分深い場所(, )では、放射が等方的になるのでEddington近似からとなります。このとき(2)式は

となります。これを積分して

…(3)

が得られます。積分定数を知るために、適用範囲外ですが; である(外向き、強さ一定の光しかない)と仮定すると、より

となります。この関係式を(3)式に使うと、より

となります。(は光球の半径)と書き、さらにLTEを仮定してと書くと、温度の関係式

…(4)

が得られます。これはplane-parallelの仮定のもとでEddington近似をした場合に得られる(2)式の関係に対応する式になります。(4)式は, として曲率を無視すると式になります。

今度は、上の場合とは逆にの場合を考えます。このとき、放射はほとんど外向きで、の方向にだけ値があるとすると

…(5)

となるので、(2)式は

となります。この式は積分できて

を得ます。(5)式の状況のもとではなので、となります。したがって

が得られます。先ほどと同様に,を用いて温度の関係に変換すると

となります。Plane-parallelの場合と違って、この場合は ()でとなります。

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