[恒星大気の物理学] 一般の場合

特別な近似は使いません。

特別な近似を使わない場合はGray atmosphereのradiative transferの式

…(1)

は解析的には解くことができません。この式の難しさは

…(2)

なので、積分微分方程式になっているからです。数値的に解く方法の一つとして、Variable Eddington-factorの方法があります。この方法ではEddington-factor

…(3)

を導入します。Eddington approximationではです。一般には場所によって変化する量です。最初にの値を仮定すると

…(4)

を使って(1)式を数値的に解いてを種々のの値に対して得ることができます。これを(2)式に使うとが求まります。そして

からが求められるので、(3)式を使っての値を更新することができます。この計算を収束するまで繰り返すと、の厳密な解が得られます。

厳密解ではEddington approximation の代わりに

…(5)

のように表されます。はHopf functionとして知られ、Eddington近似では2/3となります。Eddingtonとの関係は(4), (5)より

の関係が得られます。では放射は等方的になるので、となります。したがって

つまり

のように表されます。したがってEddington factorは

のようになります。下の図はを表した図です。が大きくなるとが1/3に漸近していくことが見て取れます。

またLTEを仮定すると、なので、温度分布が

のように表されます。下の図はEddington近似の場合と厳密解の場合で温度分布を比較したものです。

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