[恒星大気の物理学] Eddington Approximation

近似を用いて解きます。

Radiation pressure, Diffusion Approximationの章にて、大気の十分深い場所ではとなることを導出しました。Eddington近似では

の関係がどこでも成り立っていることを仮定します。この式をGray atmosphereの最後の式

に用いるととなります。さらになので

となり、source functionがoptical depth の関数で与えられることになりました。これにより

の解は、Radiative transfer eq. の形式的な解の(1)式で与えられます。Flux Schwarzschild-Milne eq.の(1)式で与えられるので、これにの形を代入すると

のように表されます。これにの関係式を用いて部分積分すれば

となります。途中でを使いました。この式よりと定数が求まるので

…(1)

を得ます。LTEではおよびなので、上の式は

…(2)

のように温度とoptical depthの関係に変換されます。この式より、での温度とeffective temperature との比がであることがわかります。この値は厳密解の値である0.812から遠くない値で、Eddington近似が良く成り立っていることがわかります。

またこの式はになっており、この深さが光球(連続光が恒星外部に放出される層)であることを示しています。この層から出た光子が表面()まで出てくる確率は、と、光球の概念と合っている事がわかります。

より(1)式をRadiative transfer eq. の形式的な解の(1)式に使って、で外側に向かうemergent intensity ()を求めると

となります。これはsource functionがoptical depthの線形関数であれば、emergent intensityがの場所のsource functionになる、というEddington-Barbier relationの特別な形になっています。

この式から得られるlimb-darkeningは

となり、太陽ディスクの端()のintensityが中央の40%であることを示しています。これは観測に良く一致する事が知られています。

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