[宇宙論] ロバートソン・ウォーカー計量

現在の宇宙論・天体物理学・天文学でもっともよく知られる一様等方宇宙モデルの計量。

4次元での半径aの球(超球)  を考えます。は4次元デカルト座標です。この超球表面(3次元空間)内の微小距離

となります。ここでは3次元極座標で表すと、

より

よってとなります。

なので、となります。よって

となるので、最終的に

となります。ここでというパラーメータを導入します。ここでkは-1, 0, 1のいずれかの定数です。k=0は平らな空間、そしてk=-1は負の曲率を持つ空間とします。上記ではk=1の正の曲率を持つ空間の場合です。よって

とすると

となります。ここまでは空間の距離だけを考えてきましたが、時間の要素も考えて

 

 

とします。ここではスケールファクターです。大雑把に言えば、宇宙の大きさを表すパラメータです。これを一様等方な宇宙の4次元時空の幾何モデルとして、ロバートソン・ウォーカー計量と呼びます。

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