[一般相対論] 計量テンソルの定義

今後たくさん使います。

ここではメトリック(計量)テンソルについての記事をまとめています。これはのちに出てくるクリストッフェル記号などの演算にとてもたくさん出てくるので、しっかりと覚えておきたいところです。

微小変位ベクトルを

のように書きます。するとその大きさの二乗は

のように表現できますね。このメトリック(計量)テンソルと呼びます。これを用いれば

のように書くことができます。またその定義から、という性質を持つため、独立な成分は10個です。

メトリックは行列です。であればその逆行列を考えておく必要があります。それを

のように、添え字を下から上にしたもので定義します。

局所慣性系において、計量テンソルは平坦で簡単なもので表現されます。すなわち

のようにミンコフスキーメトリックになります。

今回はここまで。いよいよもって数学の準備が加速して参りました。

 

下記pdfは例題として2次元デカルト座標と2次元極座標の場合の計量メトリックを計算しました。興味のある方はご覧ください。

 

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